Question

已知函数f（x）=

kx-k+4，x≤1 x2-(k+2)x+k+5，x＞1

（k∈R），且y=f（x）在x∈（-1，5）内有三个零点x₁，x₂，x₃．
（1）求实数k的取值范围；
（2）求x₁²+x₂²+x₃²的取值范围．

Answer 1

考点：分段函数的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，y=f（x）在x∈（-1，1）内有1个零点，在（1，5）内有两个不同的零点，根据函数解析式，即可求实数k的取值范围；
（2）不妨令x1=

k-4

k

，x2+x3=k+2，x2•x3=k+5，则x₁²+x₂²+x₃²可表示为k的函数，即可求出其取值范围．

解答： 解：（1）根据题意

k＞0 -1＜ k-4 k ＜1

，∴k＞2，
又

△=(k+2)2-4(k+5)＞0 1＜ k+2 2 ＜5 f(1)＞0 f(5)＞0

，
∴4＜k＜5，
综上4＜k＜5．
（2）不妨令x1=

k-4

k

，x2+x3=k+2，x2•x3=k+5，
∴x12+x22+x32=x12+(x2+x3)2-2x2x3=(

k-4

k

)2+(k+2)2-2(k+5)
=k2+

16

k2

+2k-

8

k

-5=(k-

4

k

)2+2(k-

4

k

)+3，
令t=k-

4

k

∈(3，

21

5

)，
∴x12+x22+x32∈(18，

726

25

)．

点评：本题考查分段函数，考查函数的零点，考查学生分析解决问题的能力，正确理解分段函数是关键．