Question

已知函数f(x)=

1+x

+

1-x

．
（1）求函数f（x）的定义域并判断函数的奇偶性；
（2）设F(x)=m

1-x2

+f(x)，若记f（x）=t，求函数F（x）的最大值的表达式g（m）；
（3）在（2）的条件下，求满足不等式g(-m)＞(

9

4

)m的实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）函根据函数成立的条件和奇偶性的定义即可求f（x）的定义域和奇偶性；
（2）根据条件件即可函数F（x）的最大值的表达式g（m）；
（3）根据不等式恒成立的条件，建立条件关系即可求m的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）有意义，须满足

1+x≥0 1-x≥0

，得-1≤x≤1，
故函数定义域是{x|-1≤x≤1}．
∵函数定义域关于原点对称，且f(-x)=

1-x

+

1+x

=f(x)，
∴函数f（x）是偶函数．
（2）设f（x）=t，则

1-x2

=

1

2

t2-1，
∵[f(x)]2=2+2

1-x2

，0≤

1-x2

≤1
∴2≤[f（x）]²≤4，
∵f（x）≥0，∴

2

≤f(x)≤2，
即函数f（x）的值域为[

2

，2]，即t∈[

2

，2]
∴F(x)=m(

1

2

t2-1)+t=

1

2

mt2+t-m，t∈[

2

，2]，
令h(t)=

1

2

mt2+t-m，
∵抛物线y=h（t）的对称轴为t=-

1

m

①当m＞0时，-

1

m

＜0，函数y=h（t）在[

2

，2]上单调递增，
∴g（m）=h（2）=m+2；
②当m=0时，h（t）=t，g（m）=2
③当m＜0时，-

1

m

＞0，
若0＜-

1

m

≤

2

，即m≤-

2

2

时，函数y=h（t）在[

2

，2]上单调递减，
∴g(m)=h(

2

)=

2

；
若

2

＜-

1

m

≤2，即-

2

2

＜m≤-

1

2

时，g(m)=h(-

1

m

)=-m-

1

2m

；
若-

1

m

＞2，即-

1

2

＜m＜0时，函数y=h（t）在[

2

，2]上单调递增，
∴g（m）=h（2）=m+2；
综上得g(m)=

m+2，(m＞- 1 2 ) -m- 1 2m ，(- 2 2 ＜m≤- 1 2 ) 2 ．(m≤- 2 2 )

．
（3）由（2）知g(-m)=

-m+2，(m＜ 1 2 ) m+ 1 2m ，( 1 2 ≤m＜ 2 2 ) 2 ．(m≥ 2 2 )

①当m＜

1

2

时，g（-m）=-m+2单调递减，y=(

9

4

)m单调递增，
∴g(-m)＞-

1

2

+2=

3

2

=(

9

4

)

1

2

＞(

9

4

)m恒成立．
②当

1

2

≤m＜

2

2

时，
∵g(-m)=m+

1

2m

，由对勾函数性质知g（-m）在m∈[

1

2

，

2

2

]上单调递减，
∵y=(

9

4

)m单调递增，
∴g(-m)≤

1

2

+

1

2× 1 2

=

3

2

=(

9

4

)

1

2

≤(

9

4

)m，∴g(-m)＞(

9

4

)m恒不成立；
③当m≥

2

2

时，g(-m)=

2

＜

3

2

=(

9

4

)

1

2

≤(

9

4

)m，∴g(-m)＞(

9

4

)m恒不成立；
综上得满足g(-m)＞(

9

4

)m的实数m的取值范围为(-∞，

1

2

)．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断，函数最值的求法以及不等式恒成立的解法，综合性较强，难度较大．