题目内容
圆心为I的△ABC的内切圆分别切边AC、AB于点E、F．设M为线段EF上一点，证明：△MAB与△MAC面积相等的充分必要条件是MI⊥BC．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断
专题：立体几何
分析：根据充分条件和必要条件的定义，结合三角形的面积之间关系以及圆的相关知识，即可得到结论．
解答：
证明：过点M作MP⊥AC、MQ⊥AB，垂足分别为P、Q．圆I切边BC于点D，
则ID⊥BC，IF⊥AB，IE⊥AC．
显然AF=AE，
∴∠AFM=∠AEM，
从而推知Rt△QFM：Rt△PEM，得
=
．
又
=
=
=
•
，
∴△MAB与△MAC面积相等的充要条件是
=
．①
由①可知，问题转化为证明：
=
的充分必要条件是MI⊥BC．
首先证明：若MI⊥BC，则
=
．由MI⊥BC可知点M在直线ID上．
∵B、D、I、F四点共圆，
∴∠MIF=∠DBF=∠B，∠MIE=∠ECD=∠C．
又 IE=IF，则由正弦定理得
=
=
=
，
即
=
，而
=
．
∴
=
．
其次证明：若
=
，
则MI⊥BC．设直线ID与EF交于点M'，
则由上述证明可知
=
，
于是有
=
，从而 M与M’重合．
故命题成立．
则ID⊥BC，IF⊥AB，IE⊥AC．
显然AF=AE，
∴∠AFM=∠AEM，
从而推知Rt△QFM：Rt△PEM，得
| MQ |
| MP |
| MF |
| ME |
又
| S△MAB |
| S△MAC |
| ||
|
| MQ•AB |
| MP•AC |
| MF |
| ME |
| AB |
| AC |
∴△MAB与△MAC面积相等的充要条件是
| AB |
| AC |
| ME |
| MF |
由①可知，问题转化为证明：
| AB |
| AC |
| ME |
| MF |
首先证明：若MI⊥BC，则
| AB |
| AC |
| ME |
| MF |
∵B、D、I、F四点共圆，
∴∠MIF=∠DBF=∠B，∠MIE=∠ECD=∠C．
又 IE=IF，则由正弦定理得
| MF |
| sin∠MIF |
| FI |
| sin∠IMF |
| IE |
| sin(π-∠IMF) |
| ME |
| sin∠MIE |
即
| ME |
| MF |
| sinC |
| sinB |
| AB |
| AC |
| sinC |
| sinB |
∴
| AB |
| AC |
| ME |
| MF |
其次证明：若
| AB |
| AC |
| ME |
| MF |
则MI⊥BC．设直线ID与EF交于点M'，
则由上述证明可知
| AB |
| AC |
| M′E |
| M′F |
于是有
| AB |
| AC |
| M′E |
| M′F |
故命题成立．
点评：本题主要考查与圆的有关的几何证明，难度较大，综合性较强．
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