Question

在数列{a_n}中，a₁+a₂+…+a_n=n²
（1）在数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{

an

2n

}的前n项和S_n；
（3）求数列{

4

an•an+1•an+2

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）构造数列，利用作差法即可在数列{a_n}的通项公式；
（2）利用错位相减法即可求数列{

an

2n

}的前n项和S_n；
（3）利用裂项法进行求解即可．

解答： 解：（1）∵a₁+a₂+…+a_n=n²，
∴当n≥2时，a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）²，
两式相减得a_n=n²-（n-1）²=2n-1，
当n=1时，a₁=1，满足a_n=2n-1，
则数列{a_n}的通项公式为a_n=2n-1；
（2）

an

2n

=

2n-1

2n

，
则前n项和S_n=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

，
则

1

2

S_n=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

，
两式相减得

1

2

S_n=

1

2

+

2

22

+

2

23

+…+

2

2n

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2[

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

]-

2n-1

2n+1

=

1

2

+2×

1 22 [1-( 1 2 )n-1]

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+1-（

1

2

）^n-1-

2n-1

2n+1

，
则S_n=3-（

1

2

）^n-2-

2n-1

2n

（3）

4

an•an+1•an+2

=

4

(2n-1)(2n+1)•(2n+3)

=

1

(2n-1)(2n+1)

-

1

(2n+1)(2n+3)

，
则数列{

4

an•an+1•an+2

}的前n项和T_n=

1

1×3

-

1

3×5

+

1

3×5

-

1

5×7

+…+

1

(2n-1)(2n+1)

-

1

(2n+1)(2n+3)

=

1

3

-

1

(2n+1)(2n+3)

．

点评：本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，要求数列掌握错位相减法以及裂项求和法．