Question

已知二次函数f（x）的二次项系数为a，且方程f（x）-x=0的两个根为：x₁=1，x₂=2．
（1）若方程f（x）-x²=0有两个相等的实根，求f（x）的解析式；
（2）若a＜0，记f（x）的最大值为g（a），求a•g（a）的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）由题意，f（x）-x=a（x-1）（x-2），写出f（x），化简方程f（x）=x²，从而可得△=（1-3a）²-4（a-1）2a=0，从而解出a，从而得到f（x）的解析式；
（2）由题意，g（a）=f（-

1-3a

2a

）；ag（a）=a[a•（-

1-3a

2a

）²+（1-3a）（-

1-3a

2a

）+2a]，化简求取值范围．

解答： 解：由题意，f（x）-x=a（x-1）（x-2）；
故f（x）=a（x-1）（x-2）+x=ax²+（1-3a）x+2a；
（1）由方程f（x）=x²有两个相等的实根可得，
△=（1-3a）²-4（a-1）2a=0，
解得，a=-1；
故f（x）=-x²+4x-2；
（2）由题意，g（a）=f（-

1-3a

2a

）；
ag（a）=a[a•（-

1-3a

2a

）²+（1-3a）（-

1-3a

2a

）+2a]
=-

1

4

（a²-6a+1）
=-

1

4

（a-3）²+2，
∵a＜0，
∴-

1

4

（a-3）²+2＜-

1

4

，
故a•g（a）的取值范围为（-∞，-

1

4

）．

点评：本题考查二次函数的性质应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．