Question

在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，底面△ABC是正三角形，M、N分别是侧棱PB、PC的中点．若平面AMN⊥平面PBC，则侧棱PB与平面ABC所成角的正切值是（　　）

• A、

  5

  2

• B、

  3

  2

• C、

  2

  2

• D、

  6

  3

Answer 1

考点：直线与平面所成的角

专题：空间角

分析：取BC中点D，连结PD，AD，PD交MN于E，连结AE，作PO⊥平面ABC，交AD于O，连结OB，∠PBO是侧棱PB与平面ABC所成角，由已知得AD=PA=PD，由此能求出侧棱PB与平面ABC所成角的正切值．

解答： 解：取BC中点D，连结PD，AD，PD交MN于E，连结AE，
作PO⊥平面ABC，交AD于O，连结OB，
∠PBO是侧棱PB与平面ABC所成角，
∵在三棱锥P-ABC中，PA=PB=PC，
底面△ABC是正三角形，
M、N分别是侧棱PB、PC的中点，
∴E是PD中点，
∵平面AMN⊥平面PBC，∴AE⊥PD，
∴AD=AP，
设AD=2，则AD=PA=PD=

3

，
∴OB=OA=

2

3

AD=

2 3

3

，PO=

( 3 )2-( 2 3 3 )2

=

15

3

，
∴tan∠PBO=

PO

BO

=

15 3

2 3 3

=

5

2

，
∴侧棱PB与平面ABC所成角的正切值是

5

2

．
故选：A．

点评：本题考查线面角的正切值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．