Question

以下四个命题中：
①命题“?x∈R，x²＞0”的否定是“?x∈R，x²＜0”；
②与两定点（-1，0）、（1，0）距离之差的绝对值等于1的点的轨迹为双曲线；
③“a=1是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充要条件；
④曲线

x2

25

+

y2

9

=1与曲线

x2

9-k

+

y2

25-k

=1（0＜k＜9）有相同的焦点；
⑤设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，则|PA|的最大值为8；
其中真命题的序号是

 

．（填上所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：①，写出命题“?x∈R，x²＞0”的否定，可判断①；
②，利用双曲线的定义，可判断②；
③，直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直，可得1-a²=0，解得a=±1，利用充分必要条件的概念可判断③；
④，分别计算曲线

x2

25

+

y2

9

=1与曲线

x2

9-k

+

y2

25-k

=1（0＜k＜9）的焦点坐标，可判断④；
⑤，利用椭圆的定义，可知点P的轨迹是以A，B为焦点，长半轴长为a=5，半焦距为c=3的椭圆，利用其性质可知|PA|_max=a+c，可判断⑤．

解答： 解：对于①，命题“?x∈R，x²＞0”的否定是“?x∈R，x²≤0”故①错误；
对于②，与两定点（-1，0）、（1，0）距离之差的绝对值等于1（小于2）的点的轨迹为双曲线，故②正确；
对于③，直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直⇒1-a²=0，故a=±1，
所以“a=1是“直线x-ay=0与直线x+ay=0互相垂直”的充分不必要条件，故③错误；
对于④，曲线

x2

25

+

y2

9

=1的焦点为（±4，0），曲线

x2

9-k

+

y2

25-k

=1（0＜k＜9）的焦点为（0，±4），
所以曲线

x2

25

+

y2

9

=1与曲线

x2

9-k

+

y2

25-k

=1（0＜k＜9）有不相同的焦点，故④错误；
对于⑤，设A，B为两个定点，若动点P满足|PA|=10-|PB|，且|AB|=6，则点P的轨迹是以A，B为焦点，长半轴长为a=5，半焦距为c=3的椭圆，
|PA|_max=a+c=5+3=8，故⑤正确；
综上所述，真命题的序号是②⑤，
故答案为：②⑤．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查全称命题与特称命题之间的关系及真假判断，考查充分必要条件的概念及应用、圆锥曲线的定义与性质，术语中档题．