Question

若函数f（x）=（1-x）（x²+ax+b）的图象关于点（-2，0）对称，x₁，x₂分别是f（x）的极大值和极小值点，则x₁-x₂=

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：函数f（x）=（1-x）（x²+ax+b）的图象关于点（-2，0）对称，可得f^″（-2）=0，f（-2）=0，可得a，b，进而得出极值点，即可得出．

解答： 解：函数f（x）=（1-x）（x²+ax+b）=-x³+（1-a）x²+（a-b）x+b．
f′（x）=-3x²+2（1-a）x+（a-b），
f^″（x）=-6x+2（1-a），
∵函数f（x）=（1-x）（x²+ax+b）的图象关于点（-2，0）对称，
∴f^″（-2）=0，f（-2）=0，
∴12+2-2a=0，3（4-2a+b）=0，
解得a=7，b=10．
∴f（x）=-x³-6x²-3x+10．
令f′（x）=-3x²-12x-3=-3（x²+4x+1）=0，
解得x=-2±

3

，
令f′（x）＞0，解得-2-

3

＜x＜-2+

3

，此时函数f（x）单调递增；令f′（x）＜0，解得x＞-2+

3

，或x＜-2-

3

，此时函数f（x）单调递减．
∴f（x）的极大值和极小值点分别为-2+

3

=x₁，-2-

3

=x₂．
∴x₁-x₂=2

3

．
故答案为：2

3

．

点评：本题考查了三次函数的得出中心的性质、利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．