Question

已知函数f（x）=ax²+bx+c（0＜3a＜b），且f（x）≥0对任意实数x恒成立．
（I）当b=4

a

时，求c的最小值；
（Ⅱ）当

f(-2)

f(2)-f(0)

取最小值时，对任意的x₁，x₂∈[-3a，-a]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4a，
求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：（I）由f（x）≥0恒成立，转化为即c≥

b2

4a

，利用b=4

a

时，结合基本不等式求解即可．
（Ⅱ）分类讨论转化f（x）_max-f（x）_min≤4a，利用单调性，结合不等式求解即可．

解答： 解：（I）由f（x）≥0恒成立，得△≤0，即c≥

b2

4a

，
当b=4

a

时，c≥4，即c的最小值为：4，
（Ⅱ）设T=

f(-2)

f(2)-f(0)

=

4a-2b+c

4a+2b

≥

4a-2b+ b2 4a

4a+2b

，
设t=

b

a

＞3，则T≥

(t-4)2

8(t+2)

，再设u=t+2＞5，
则b=c=4a时，

f(-2)

f(2)-f(0)

取最小值，此时f（x）=a（x+2）²，
对任意的x₁，x₂∈[-3a，-a]都有|f（x₁）-f（x₂）|≤4a，
即当x∈[-3a，-a]时，都有f（x）_max-f（x）_min≤4a，
①当0＜a≤

2

3

时，f（x）_max-f（x）_min=f（-a）-f（-3a）=8a²（1-a）≤4a，
解得；0＜a≤

2

3

，
②

2

3

＜a≤1时，f（x）_max-f（x）_min=f（-a）-f（-2）=a（2-a）²≤4a，
解得；

2

3

＜a≤1，
③1＜a≤2时，
f（x）_max-f（x）_min=f（-3a）-f（-2）=a（2-3a）²≤4a，
解得；1＜a≤

4

3

，
④a＞2时，f（x）_max-f（x）_min=f（-3a）-f（-a）=8a²（a-1）²≤4a，不符合，舍去
综上：实数a的取值范围：（0，

4

3

]

点评：本题考查了函数的性质，不等式的运用求解，分类讨论思想，属于中档题，关键是分清讨论的标准，确定最大值最小值即可．