Question

2．在平面直角坐标系xoy中，已知圆C与直线x+2y+1=0切于点（1，-1），且圆心在直线$y=\frac{1}{2}x$上．
（1）求圆C的方程； 
（2）判断直线l：x+y+2=0和圆C的位置关系；
（3）已知点B（-4，-2）设P和Q分别是直线l：x+y+2=0和圆C上的动点，求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）可设圆心坐标为C（2a，a），利用圆C与直线x+2y+1=0切于点（1，-1），求出a，即可求圆C的方程； 
（2）利用圆心到直线l：x+y+2=0的距离与半径的关系，判断直线l：x+y+2=0和圆C的位置关系；
（3）求出点B关于直线x+y+2=0的对称点，将已知问题转化为对称点到圆上的最小值问题，根据圆的几何条件，圆外的点到圆上的点的最小值等于该点到圆心的距离减去半径．

解答 解：（1）因为圆心在直线$y=\frac{1}{2}x$上，可设圆心坐标为C（2a，a），
又圆C与直线x+2y+1=0切于点（1，-1），
∴$\frac{a+1}{2a-1}×（{-\frac{1}{2}}）=-1$，
∴a=1，圆心坐标为C（2，1），$r=\sqrt{5}$，
∴圆C的方程为（x-2）²+（y-1）²=5．…（5分）
（2）圆心到直线l：x+y+2=0的距离是$d=\frac{2+1+2}{{\sqrt{2}}}=\frac{5}{{\sqrt{2}}}＞r$，
∴直线l与圆相离．…（9分）
（3）∵直线l：x+y+2=0到原点的距离$d=\frac{5}{{\sqrt{2}}}＞r$，∴直线与圆相离．
点B（-4，-2），则PB+PQ≥BC-r，B到圆上点的最短距离为$BC-r=\sqrt{{{（{-6}）}^2}+{{（{-3}）}^2}}-\sqrt{5}=2\sqrt{5}$．
∴PB+PQ最小值为$2\sqrt{5}$，直线BC的方程为$y=\frac{1}{2}x$，
∴直线BC与直线x+y+2=0的交点P的坐标为$（{-\frac{4}{3}，-\frac{2}{3}}）$．…（15分）

点评 本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查对称性，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．