Question

数列{a_n}中，已知a₁=1，n≥2时，a_n=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

．数列{b_n}满足：b_n=3^n-1（a_n+1）．
（1）求证：数列{b_n}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）根据题中的递推关系式进行恒等变换求出数列是等差数列．
（2）利用（1）的结论，进一步利用所构造的新数列利用乘公比错位相减法求数列的和．

解答： （1）证明：由an=

1

3

an-1+

2

3n-1

-

2

3

得：3n-1an=3n-2an-1+2-2×3n-2
∴3n-1(an+1)=3n-1an+3n-1=3n-2an-1+2+3n-2=3n-2(an-1+1)+2
即b_n=b_n-1+2⇒b_n-b_n-1=2（n≥2）
又b1=31-1(a1+1)=2
∴数列{b_n}是首项为2，公差为2的等差数列．
（2）解：由（1）知，b_n=2+（n-1）×2=2n，
∴3n-1(an+1)=2n⇒an=

2n

3n-1

-1
记Tn=

2

1

+

4

3

+

6

32

+…+

2n

3n-1

，
则

1

3

Tn=

2

3

+

4

32

+…+

2(n-1)

3n-1

+

2n

3n

两式相减得：

2

3

Tn=2(1+

1

3

+

1

32

+…+

1

3n-1

)-

2n

3n

=

2[1-( 1 3 )n]

1- 1 3

-

2n

3n

=3-

2n+3

3n

∴Tn=

9

2

-

2n+3

2×3n-1

因此，Sn=Tn-n=

9

2

-

2n+3

2×3n-1

-n

点评：本题考查的知识要点：利用递推关系式求出数列是等差数列，并求出数列的通项公式乘公比错位相减法的应用．属于基础题型．