Question

如图，已知椭圆C₁：

x2

11

+y²=1，双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），若以C₁的长轴为直径的圆与C₂的一条渐近线交于A、B两点，且C₁与该渐近线的两交点将线段AB三等分，则C₂的离心率为（　　）

• A、

  5

• B、5
• C、

  17

• D、

  2 14

  7

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：求出一条渐近线方程，联立直线方程和圆的方程、椭圆方程，求得交点，再由两点的距离公式，将|AB|=3|CD|，化简整理，即可得到b=2a，再由a，b，c的关系和离心率公式，即可得到结论．

解答： 解：双曲线C₂：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为
y=

b

a

x，
以C₁的长轴为直径的圆的方程为x²+y²=11，
联立渐近线方程和圆的方程，可得交点A（

11 a

a2+b2

，

11 b

a2+b2

），B（-

11 a

a2+b2

，-

11 b

a2+b2

），
联立渐近线方程和椭圆C₁：

x2

11

+y²=1，可得交点C（

11 a

a2+11b2

，

11 b

a2+11b2

），
D（-

11 a

a2+11b2

，-

11 b

a2+11b2

），
由于C₁与该渐近线的两交点将线段AB三等分，
则|AB|=3|CD|，
即有

44

9

=

44(a2+b2)

a2+11b2

，化简可得，b=2a，
则c=

a2+b2

=

5

a，
则离心率为e=

c

a

=

5

．
故选A．

点评：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线与圆、椭圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．