Question

设函数f（x）=|x-1|+|x-a|，若对x≥1均有f（x）≥4成立，则实数a（a＞0）的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：由题意可得，当x≥1时，f（x）=|x-1|+|x-a|的最小值大于或等于4．利用绝对值三角不等式求得f（x）的最小值为|a-1|，可得|a-1|≥4，由此求得a的范围．

解答： 解：由题意可得，当x≥1时，f（x）=|x-1|+|x-a|的最小值大于或等于4，
而f（x）=|x-1|+|x-a|≥|（x-1）-（x-a）|=|a-1|，故f（x）=|x-1|+|x-a|的最小值为|a-1|，
∴|a-1|≥4，即a-1≥4，或a-1≤-4．解得 a≥5，或 a≤-3 （舍去）．
故实数a（a＞0）的取值范围为[5，+∞），
故答案为：[5，+∞）．

点评：本题主要考查绝对值三角不等式，绝对值不等式的解法，体现了转化的数学思想，属于中档题．