Question

设函数f（x）=|x+a|-|x-4|，x∈R
（1）当a=1时，解不等式f（x）＜2；
（2）若关于x的不等式f（x）≤5-|a+l|恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法,函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）当a=1时，化简函数f（x）的解析式，由f（x）＜2，可得 x＜-1或

2x-3＜2 -1≤x＜4

，由此求得不等式的解集．
（2）利用绝对值三角不等式求出f（x）的最大值，可得f（x）的最大值小于或等于5-|a+1|，解绝对值不等式，求得a的范围．

解答： 解：（1）当a=1时，f（x）=|x+1|-|x-4|=

-5  ，x＜-1 2x-3 ，-1≤x＜4 5  ，x≥4

，
∴由f（x）＜2，可得 x＜-1，或

2x-3＜2 -1≤x＜4

．
解得x＜

5

2

，故不等式的解集为（-∞，

5

2

）．
（2）因为f（x）=|x+a|-|x-4|=|x+a|-|4-x|≤|（x+a）+（4-x）|=|a+4|，
要使f（x）≤5-|a+1|恒成立，须使|a+4|≤5-|a+1|，
即|a+4|+|a+1|≤5，∴

-2a-5 ≤5 a＜-4

 ①，或 

3≤5 -4≤a＜-1

②，或 

2a+5≤5 a≥-1

 ③．
解①求得-5≤a＜-4，解②求得-4≤a＜-1，解③求得-1≤a≤0，
综合可得a的范围是[-5，0]．

点评：本题主要考查带由绝对值的函数，绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．