题目内容

如图，已知△ABC（|
AB
|＞|
AC
|）的面积是3
3
，且则
AB
•
AC
=6，BC=
13
，M是BC的中点，过M作MH⊥AB于H，则
MH
•
BC
=
 
．
考点：平面向量数量积的运算
专题：计算题,平面向量及应用
分析：由△ABC的面积是3
3
，得
1
2
|
AB
||
AC
|sinA=3
3
，由
AB
•
AC
=6，得|
AB
||
AC
|cosA=6，由两式可求得角A，进而可得|
AB
||
AC
|=12③，由余弦定理可得BC2=AC2+AB2-AB•ACcosA=（AB+AC）2-3AB•AC，即13=（AB+AC）2-3×12④，联立③④可求AB=4，AC=3，作CQ垂直AB于Q，由于M为BC中点，则
MH
•
BC
=
1
2
CQ
•(
AC
-
AB
)=
1
2
CQ
•
AC
=
1
2
CQ
•
CA
，由数量积定义可求答案．
解答： 解：由△ABC的面积是3
3
，得
1
2
|
AB
||
AC
|sinA=3
3
，
∴|
AB
||
AC
|sinA=6
3
①，
由
AB
•
AC
=6，得|
AB
||
AC
|cosA=6②，
由①②得tanA=
3
，∴A=60°，
则|
AB
||
AC
|=12，
在△ABC中，由余弦定理得，BC2=AC2+AB2-AB•ACcosA=（AB+AC）2-3AB•AC，即13=（AB+AC）2-3×12，
解得AB+AC=7，又AB×AC=12，可求得AB=4，AC=3，
作CQ垂直AB于Q，∵M为BC中点，∴MH=
1
2
CQ，
∴
MH
•
BC
=
1
2
CQ
•(
AC
-
AB
)=
1
2
CQ
•
AC
=
1
2
CQ
•
CA
=-
1
2
×3sin60°×3×cos30°=-
27
8
，
故答案为：-
27
8
．
点评：本题考查三角形面积公式、向量数量积运算、余弦定理等知识，属中档题．
练习册系列答案
相关题目
已知△ABC的内角A、B、C的对面分别为a，b，c，向量
m
=（
a
sinC
，c-2b），向量
n
=（sin2C，1），且满足
m
⊥
n
．
（Ⅰ）求A；
（Ⅱ）当a=1时，求△ABC的周长的最大值．
设函数f（x）=|x-1|+|x-a|，若对x≥1均有f（x）≥4成立，则实数a（a＞0）的取值范围为
 
．
若函数y=e-x在点（0，1）处的切线为l，则由曲线y=e-x，直线x=1，切线l所围成封闭图形的面积为
 
．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a=2
3
，C=45°，1+
tanA
tanB
=
2c
b
，则边c的值为
 
．
已知数列{an}中，a1=1，a2=2，设Sn为数列{an}的前n项和，对于任意的n≥2，n∈N+，Sn+1+Sn-1=2（Sn+1）都成立，则Sn=
 
．
有一个容量为20的样本，分组后的各小组的组距及其频数分别为：（10，20]，2；（20，30]，4；（30，40]，3；（40，50]，5；（50，60]，4；（60，70]，2；．则样本数据在（10，40]上的频率等于
 
．
按1，3，6，10，15，…的规律给出2014个数，如图是计算这2014个数的和的程序框图，那么框图中判断框①处可以填入（　　）
A、i≥2014
B、i＞2014
C、i≤2014
D、i＜2014
1-2i
2+i
等于（　　）
A、-i
B、-
3
5
i
C、
4+3i
5
D、
4-3i
5

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