题目内容
12．已知数列{an}，{bn}都是单调递增数列，若将这两个数列的项按由小到大的顺序排成一列（相同的项视为一项），则得到一个新数列{cn}．（1）设数列{an}，{bn}分别为等差、等比数列，若a1=b1=1，a2=b3，a6=b5，求c20；
（2）设{an}的首项为1，各项为正整数，bn=3n，若新数列{cn}是等差数列，求数列{cn} 的前n项和Sn；
（3）设bn=qn-1（q是不小于2的正整数），c1=b1，是否存在等差数列{an}，使得对任意的n∈N*，在bn与bn+1之间数列{an}的项数总是bn？若存在，请给出一个满足题意的等差数列{an}；若不存在，请说明理由．
分析 （1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{1+d={q}^{2}}\\{1+5d={q}^{4}}\end{array}\right.$，解得d=0或3，因数列{an}，{bn}单调递增，d＞0，q＞1，可得an=3n-2，bn=2n-1，利用通项公式即可得出．
（2）设等差数列{cn}的公差为d，又a1，且bn=3n，所以c1=1，所以cn=dn+1-d．因为b1=3是{cn}中的项，所以设b1=cn，即d（n-1）=2．当n≥4时，解得d=$\frac{2}{n-1}$＜1，不满足各项为正整数当b1=c3=3时，当b1=c2=3时，即可得出．
（3）存在等差数列{an}，只需首项a1∈（1，q），公差d=q-1．下证bn与bn+1之间数列{an}的项数为bn．即证对任意正整数n，都有$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}＜{a}_{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n-1}+1}}\\{{b}_{n+1}＞{a}_{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}}\end{array}\right.$，作差利用通项公式即可得出．
解答 解：（1）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意得，$\left\{\begin{array}{l}{1+d={q}^{2}}\\{1+5d={q}^{4}}\end{array}\right.$，解得d=0或3，因数列{an}，{bn}单调递增，
所以d＞0，q＞1，
所以d=3，q=2，
所以an=3n-2，bn=2n-1．…（2分）
因为a1=b1=1，a2=b3，a6=b5，b7＞a20．
∴c20=a17=49．…（4分）
（2）设等差数列{cn}的公差为d，又a1，且bn=3n，
所以c1=1，所以cn=dn+1-d．
因为b1=3是{cn}中的项，所以设b1=cn，即d（n-1）=2．
当n≥4时，解得d=$\frac{2}{n-1}$＜1，不满足各项为正整数；…（6分）
当b1=c3=3时，d=1，此时cn=n，只需取an=n，而等比数列{bn}的项都是等差数列{an}，中的项，所以Sn=$\frac{n（n+1）}{2}$；…（8分）
当b1=c2=3时，d=2，此时cn=2n-1，只需取an=2n-1，
由3n=2m-1，得m=$\frac{{3}^{n}+1}{2}$，3n是奇数，3n+1 是正偶数，m有正整数解，
所以等比数列{bn}的项都是等差数列{an}中的项，所以Sn=n2．…（10分）
综上所述，数列{cn}的前n项和Sn=$\frac{n（n+1）}{2}$，或Sn=n2．…（11分）
（3）存在等差数列{an}，只需首项a1∈（1，q），公差d=q-1…（13分）
下证bn与bn+1之间数列{an}的项数为bn．即证对任意正整数n，都有$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}＜{a}_{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n-1}+1}}\\{{b}_{n+1}＞{a}_{{b}_{1}+{b}_{2}+…+{b}_{n}}}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{b}_{n}＜{a}_{1+q+…+{q}^{n-2}+1}}\\{{b}_{n+1}＞{a}_{1+q+…+{q}^{n-1}}}\end{array}\right.$成立．
由bn-${a}_{1+q+…+{q}^{n-2}+1}$=qn-1-a1-（1+q+…+qn-2）（q-1）=1-a1＜0，
bn+1-${a}_{1+q+…+{q}^{n-1}}$=qn-a1-（1+q+…+qn-1-1）（q-1）=q-a1＞0．．
所以首项a1∈（1，q），公差d=q-1的等差数列{an}符合题意…（16分）
点评 本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式求和公式及其性质、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．
| 印刷册数x（千册） | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 |
| 单册成本y（元） | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 |
（Ⅰ）为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务．
（i）完成下表（计算结果精确到0.1）；
| 印刷册数x（千册） | 2 | 3 | 4 | 5 | 8 | |
| 单册成本y（元） | 3.2 | 2.4 | 2 | 1.9 | 1.7 | |
模型甲 | 估计值$\widehat{{y}_{i}}$（1） | 2.4 | 2.1 | 1.6 | ||
| 残值$\widehat{{e}_{i}}$（1） | 0 | -0.1 | 0.1 | |||
模型乙 | 估计值$\widehat{{y}_{i}}$（2） | 2.3 | 2 | 1.9 | ||
| 残值$\widehat{{e}_{i}}$（2） | 0.1 | 0 | 0 | |||
（Ⅱ）该书上市之后，受到广大读者热烈欢迎，不久便全部售罄，于是印刷厂决定进行二次印刷．根据市场调查，新需求量为10千册，若印刷厂以每册5元的价格将书籍出售给订货商，试估计印刷厂二次印刷获得的利润．（按（Ⅰ）中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本）
| A． | 1 | B． | 2 | C． | 3 | D． | 4 |
在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c，a2+b2+c2=ab+bc+ca．
如图，在四棱锥E-ABCD中，平面CDE⊥平面ABCD，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC=1，AD=ED=3，EC=2．