Question

9．函数f（x）=|sinx|+|sin（x+$\frac{π}{3}$）|的值域为[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

Answer 1

分析 在一个周期[0，2π）内，讨论sinx、sin（x+$\frac{π}{3}$）的正负，求出函数f（x）的值域即可．

解答 解：令sinx=0和sin（x+$\frac{π}{3}$）=0，x∈[0，2π），
解得x=0，π和x=$\frac{2π}{3}$，$\frac{5π}{3}$；
∴①当x∈[0，$\frac{2π}{3}$]时，sinx≥0，sin（x+$\frac{π}{3}$）≥0，
∴f（x）=sinx+sin（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（x+$\frac{π}{6}$）cos$\frac{π}{6}$=$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）；
此时x+$\frac{π}{6}$∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$]，
$\frac{1}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f（x）≤$\sqrt{3}$；
②当x∈（π，$\frac{5π}{3}$）时，sinx＜0，sin（x+$\frac{π}{3}$）＜0，
∴f（x）=-sinx-sin（x+$\frac{π}{3}$）=-$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{6}$）；
此时x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{7π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
-1≤sin（x+$\frac{π}{6}$）≤-$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f（x）≤$\sqrt{3}$；
③当x∈（$\frac{2π}{3}$，π）时，sinx＞0，sin（x+$\frac{π}{3}$）＜0，
∴f（x）=sinx-sin（x+$\frac{π}{3}$）=2sin（-$\frac{π}{6}$）cos（x+$\frac{π}{6}$）=-cos（x+$\frac{π}{6}$）；
此时x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{5π}{6}$，$\frac{7π}{6}$），
-1≤cos（x+$\frac{π}{6}$）＜-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤f（x）≤$\sqrt{3}$；
④当x∈（$\frac{5π}{3}$，2π]时，sinx≤0，sin（x+$\frac{π}{3}$）＞0，
∴f（x）=-sinx+sin（x+$\frac{π}{3}$）=2sin$\frac{π}{6}$cos（x+$\frac{π}{6}$）=cos（x+$\frac{π}{6}$）；
此时x+$\frac{π}{6}$∈（$\frac{11π}{6}$，$\frac{13π}{6}$]，
$\frac{\sqrt{3}}{2}$≤sin（x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}$＜f（x）≤1；
综上，函数f（x）的值域为[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．
故答案为：[$\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\sqrt{3}$]．

点评 本题考查了正弦函数的图象与性质的应用问题，也考查了分段函数与分类讨论思想的应用问题，是综合题．