Question

13．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，b（1-2cosA）=2acosB．
（1）若b=2，求c的值；
（2）若a=1，tanA=2$\sqrt{2}$，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理得sinB（1-2cosA）=2sinAcosB，
即sinB=2（sinAcosB+cosAsinB）=2sinC，得b=2c．
（2）由tanA=$\frac{sinA}{cosA}$，=2$\sqrt{2}$，解得cosA=$\frac{1}{3}$，sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
由（1）b=2c，由余弦定理有cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4{c}^{2}+{c}^{2}-1}{2bc}=\frac{1}{3}$，解c²=$\frac{3}{11}$，即可求面积．

解答 解：（1）∵b（1-2cosA）=2acosB，
∴由正弦定理得sinB（1-2cosA）=2sinAcosB，
即sinB=2（sinAcosB+cosAsinB）=2sinC
所以b=2c，∵b=2，∴c=1；…（5分）
（2）∵tanA=$\frac{sinA}{cosA}$=2$\sqrt{2}$，∴sinA=2$\sqrt{2}cosA$
∵sin²A+cos²A=1，
解得cosA=$\frac{1}{3}$，∴sinA=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$
由（1）b=2c
由余弦定理有cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{4{c}^{2}+{c}^{2}-1}{2bc}=\frac{1}{3}$，解得c²=$\frac{3}{11}$
∴s_△ABC=$\frac{1}{2}bcsinA={c}^{2}sinA=\frac{3}{11}•\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{2\sqrt{2}}{11}$．

点评 本题考查了正余弦定理的应用，考查了计算能力，属于中档题．