Question

14．若直线ax+y-2=0与圆心为C的圆（x-1）²+（y-a）²=16相交于A，B两点，且$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，则实数a的值是-1．

Answer 1

分析 由向量垂直的条件：数量积为0，结合圆的知识可得△ABC为等腰直角三角形，求出圆的圆心和半径，弦长AB，以及圆心到直线的距离，运用点到直线的距离公式，解方程即可得到a的值．

解答 解：由题意$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$，
结合圆的知识可得△ABC为等腰直角三角形，
圆（x-1）²+（y-a）²=16的圆心C（1，a），半径r=4，
弦长AB=4$\sqrt{2}$，
由等腰直角三角形的性质可得C到直线的距离为d=2$\sqrt{2}$，
即有$\frac{|a+a-2|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=2$\sqrt{2}$，
解得a=-1．
故答案为：-1．

点评 本题考查直线和圆相交的弦长求法和向量垂直的条件：数量积为0，考查等腰直角三角形的性质，以及点到直线的距离公式的运用，考查运算能力，属于中档题．