Question

如图正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为D₁C₁和B₁C₁的中点，P、Q分别为AC与BD、
A₁C₁与EF的交点．
（1）求证：D、B、F、E四点共面；
（2）若A₁C与面DBFE交于点R，求证：P、Q、R三点共线．

Answer 1

考点：棱柱的结构特征

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）由BB₁

∥ =

DD₁可得BD

∥ =

B₁D₁，又由E、F分别为D₁C₁和B₁C₁的中点，可得EF

∥ =

1

2

B₁D₁，从而得证；
（2）由题意可得平面AC₁∩平面BE=PQ，再由A₁C与面DBFE交于点R，可得R∈平面AC₁，R∈平面BE，从而可得R∈PQ．

解答： 证明：（1）∵正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁

∥ =

DD₁，
∴BD

∥ =

B₁D₁，
又∵E、F分别为D₁C₁和B₁C₁的中点，
EF

∥ =

1

2

B₁D₁，
∴EF

∥ =

1

2

BD，
∴D、B、F、E四点共面．
（2）∵Q∈平面AC₁，Q∈平面BE，P∈平面AC₁，P∈平面BE，
∴平面AC₁∩平面BE=PQ，
又∵A₁C与面DBFE交于点R，
∴R∈平面AC₁，R∈平面BE，
∴R∈PQ，
即P、Q、R三点共线．

点评：本题考查了学生的识图能力及平行性的证明与应用，同时考查了三点共线的证明方法，属于中档题．