Question

已知椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（

2

，0），它的长轴是短轴的

3

倍，直线y=m（m为常数）与椭圆交于A，B两点，以线段AB为直径作圆P，圆心为P．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若圆P与x轴相切，求圆心P的坐标；
（3）设M（x，y）是圆P上的动点，当m变化时，求y的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，可得c=

2

，2a=

3

•2b，a²=b²+c²，解出即可．
（2）联立

y=m x2+3y2=3

，解得（x，y）．根据圆P与x轴相切，可得|OA|=

2

|OP|，即可解出．
（3）⊙P的方程：x²+（y-m）²=3-3m²，由题意可得：-1＜m＜1，取1＞m≥0，x∈[-

3

，

3

]，因此只要求出y=m+

3-3m2

的最大值即可．

解答： 解：（1）∵椭圆C的中心在坐标原点，它的一个焦点坐标为（

2

，0），它的长轴是短轴的

3

倍，
可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∴c=

2

，2a=

3

•2b，a²=b²+c²，
解得a²=3，b²=1，c=

2

．
∴椭圆C的方程为：

x2

3

+y2=1．
（2）联立

y=m x2+3y2=3

，解得

x= 3-3m2 y=m

，

x=- 3-3m2 y=m

．
∵圆P与x轴相切，∴|OA|=

2

|OP|，
∴

m2+3-3m2

=

2

|m|，解得m=±

3

2

．
∴P(0，±

3

2

)．
（3）⊙P的方程：x²+（y-m）²=3-3m²，
由题意可得：-1＜m＜1，
取1＞m≥0，x∈[-

3

，

3

]，
∴只要求出y=m+

3-3m2

的最大值即可．
y′=1-

3m

3-3m2

=

3-3m2 -3m

3-3m2

，
令y′=0，解得m=

1

2

，
当m∈[0，

1

2

)时，y′＞0；当m∈(

1

2

，1)时，y′＜0．
∴当m=

1

2

时，函数y=m+

3-3m2

取得极大值即最大值2．

点评：本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质，考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于难题．