题目内容
已知定义在R上的函数f（x），g（x）满足
=ax，且f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），
+
=
．若有穷数列{
}的前n项和为Sn，则满足不等式Sn＞2015的最小正整数n等于（ ）
| f(x) |
| g(x) |
| f(1) |
| g(1) |
| f(-1) |
| g(-1) |
| 5 |
| 2 |
| f(n) |
| g(n) |
| A、7 | B、8 | C、9 | D、10 |
考点：数列与不等式的综合
专题：计算题,函数的性质及应用,等差数列与等比数列
分析：首先由已知条件结合导数大于0判断出ax为实数集上的增函数，由此得到a＞1，再由
+
=
求出a的值，然后利用等比数列的前n项和公式求解n的值．
| f(1) |
| g(1) |
| f(-1) |
| g(-1) |
| 5 |
| 2 |
解答：
解：由(
)′=
，
而f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），所以（
）′＞0，
即函数
=ax为实数集上的增函数，则a＞1．
又
+
=
，解得a=2．
则数列{
}为数列{2n}，
此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
由前n项和Sn=
=2n+1-2，
由Sn＞2015，得2n+1-2＞2015，
由于210=1024，211=2048，
解得最小正整数n=10．
故选D．
| f(x) |
| g(x) |
| f′(x)g(x)-f(x)g′(x) |
| g2(x) |
而f′（x）g（x）＞f（x）g′（x），所以（
| f(x) |
| g(x) |
即函数
| f(x) |
| g(x) |
又
| f(1) |
| g(1) |
| f(-1) |
| g(-1) |
| 5 |
| 2 |
则数列{
| f(n) |
| g(n) |
此数列是以2为首项，以2为公比的等比数列，
由前n项和Sn=
| 2(1-2n) |
| 1-2 |
由Sn＞2015，得2n+1-2＞2015，
由于210=1024，211=2048，
解得最小正整数n=10．
故选D．
点评：本题考查了函数的单调性与导数间的关系，考查了导数的运算法则，训练了利用等比数列的前n项和公式求值，是中档题．
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