Question

5．经过点（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）且与椭圆$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1有共同焦点的椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．

Answer 1

分析 求出椭圆的焦点，利用椭圆的定义求出a，b的值即可．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{20}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1中，a₁²=20，b₁²=16，则c²=20-16=4，即c=2，
即抛物线的焦点为F₁（2，0），F₂（-2，0），
∵点A（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{2}$）在椭圆上，
∴2a=|AF₁|+|AF₂|=$\sqrt{（2-\frac{5}{2}）^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（-2-\frac{5}{2}）^{2}+（-\frac{3}{2}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{1}{4}+\frac{9}{4}}$+$\sqrt{\frac{81}{4}+\frac{9}{4}}$
=$\sqrt{\frac{10}{4}}+\sqrt{\frac{90}{4}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}+\frac{3\sqrt{10}}{2}$=2$\sqrt{10}$，
∴a=$\sqrt{10}$，则a²=10，b²=a²-c²=10-4=6，
即椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$．
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{10}+\frac{{y}^{2}}{6}=1$

点评 本题主要考查椭圆方程的求解，根据椭圆的a，b，c之间的关系建立方程关系是解决本题的关键．