Question

5．如图，已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=4，将△ABC沿BD折到△A′BD的位置，使平面A′BD⊥平面CBD．
（Ⅰ）求证：CD⊥A′B；
（Ⅱ）试在线段A′C上确定一点P，使得三棱锥P-BDC的体积为$\frac{4\sqrt{3}}{9}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，过点D作DF⊥BC于F，则AE∥DF，推导出CD⊥BD，从而CD⊥平面A′BD，由此能证明CD⊥A′B．
（Ⅱ）求出${V}_{{A}^{'}-BCD}$=$\frac{1}{3}•{S}_{△BCD}•{A}^{'}O$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，设$\overrightarrow{{A}^{'}P}$=$λ\overrightarrow{{A}^{'}C}$，则${V}_{P-BCD}=λ{V}_{{A}^{'}-BCD}$，由此能求出点P在线段A′C靠近A′的三等分点处．

解答 证明：（Ⅰ）在等腰梯形ABCD中，过点A作AE⊥BC于E，
过点D作DF⊥BC于F，则AE∥DF，∴EF=AD=2，
又∵在等腰梯形ABCD中，Rt△ABE≌Rt△DCF，且BC=4，
∴BE=FC=1，∴cosC=$\frac{1}{2}$，
在△BCD中，BD²=BC²+CD²-2BC•CD•cosC=${4}^{2}+{2}^{2}-2×4×2×\frac{1}{2}$=12，
∴BD²+CD²=BC²，∴CD⊥BD，
又∵平面A′BD⊥平面CBD，
面A′BD∩面CBD=BD，
∴CD⊥平面A′BD，∴CD⊥A′B．
解：（Ⅱ）由（Ⅰ）知${V}_{{A}^{'}-BCD}$=$\frac{1}{3}•{S}_{△BCD}•{A}^{'}O$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2×1$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
设$\overrightarrow{{A}^{'}P}$=$λ\overrightarrow{{A}^{'}C}$，则${V}_{P-BCD}=λ{V}_{{A}^{'}-BCD}$，即：$\frac{4\sqrt{3}}{9}=λ•\frac{2\sqrt{3}}{3}$，解得$λ=\frac{2}{3}$，
∴点P在线段A′C靠近A′的三等分点处．

点评 本题考查线线垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查化归与转化思想、数形结合思想、函数与方程思想，是中档题．