Question

已知曲线Γ：y²=4x，直线l经过点（0，2）且其一个方向向量为

d

=（1，k）．
（1）若曲线Γ的焦点F在直线l上，求实数k的值；
（2）当k=-1时，直线l与曲线Γ相交于A、B两点，求|AB|的值；
（3）当k（k＞0）变化且直线l与曲线Γ有公共点时，是否存在这样的实数a，使得点P（a，0）关于直线l的对称点Q（x₀，y₀）落在曲线Γ的准线上．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）确定F（1，0），k=

0-2

1-0

=-2，可得结论；
（2）确定直线l：y=-x+2l与曲线Γ的方程联立消去y并整理，利用弦长公式求|AB|的值；
（3）假设存在这样的实数a，使得点P（a，0）关于直线l的对称点Q（x₀，y₀）落在曲线Γ的准线上，直线l与曲线Γ的方程联立消去y并整理，求出Q的横坐标，求出a的值．

解答： 解：（1）由y²=4x得，p=2，所以F（1，0），k=

0-2

1-0

=-2，
所以k=-2…（3分）
（2）当k=-1时，

d

=（1，k）=（1，-1），直线l：y=-x+2…（4分）
将直线l与曲线Γ的方程联立消去y并整理得，x²-8x+4=0，其中△＞0…（6分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁+x₂=8，x₁x₂=4…（7分）
于是|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=4

6

…（9分）
（3）假设存在这样的实数a，使得点P（a，0）关于直线l的对称点Q（x₀，y₀）落在曲线Γ的准线上，
根据题意可得k＞0，所以直线l：y=kx+2，由于k＞0，
直线l与曲线Γ的方程联立消去y并整理得，k²x²+4（k-1）x+4=0，
直线l与曲线Γ有公共点，故△=16（k-1）²-16k²≥0，解得k≤

1

2

，所以0＜k≤

1

2

…（11分）
点P（a，0）关于直线l的对称点Q（x₀，y₀），则

y0 2 =k• x0+a 2 +2 y0 x0-a =- 1 k

…（12分）  
得x₀=

a(1-k2)-4k

1+k2

（0＜k≤

1

2

）…（13分），
当点Q落在曲线Γ的准线x=-1上时，

a(1-k2)-4k

1+k2

=-1，
所以a=1-

4(k- 1 2 )

k2-1

，即

a-1

4

=-

k- 1 2

k2-1

…（14分）
当k=

1

2

时，a=1；当0＜k＜

1

2

时，

4

1-a

=（k-

1

2

）-

3 4

k- 1 2

+1＞2，解得-1＜a＜1
所以-1≤a≤1，所以存在这样的实数a，满足题设条件．…（16分）

点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题，考查韦达定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．