Question

函数f（x）的定义域为D，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f（x）满足：（1）f（x）在[a，b]内是单调函数；（2）f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y=f（x）的“和谐k区间”．
（Ⅰ）若函数f（x）=e^x存在“和谐k区间”，求正整数k的最小值；
（Ⅱ）若函数g（x）=

m

2

x²-（m+2）lnx+2x（m≥0）存在“和谐2区间”，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性

专题：新定义,导数的综合应用

分析：Ⅰ：由f（x）=e^x为R上的增函数和题设中的定义“和谐k区间”．得到新函数v（x）=e^x-kx（k∈N^*），通过求v'（x）找到单调区间，得到v（x）≥v（lnk），由于v（x）在R上有两个零点，通过v（lnk）＜0，解不等式求出k．
Ⅱ：通过对g（x）求导找出g（x）的单调区间（0，1）和（1，+∞），由于[a，b]?（0，1]及m≥0，不合题意；若[a，b]?[1，+∞），再分别讨论m=0，m＞0的情况．

解答： 解：（Ⅰ）由于函数f（x）=e^x为R上的增函数，若f（x）在[a，b]上的值域为[ka，kb]；
则必有f（a）=ka，f（b）=kb，所以a，b为方程f（x）=kx的两个不等根，
令v（x）=f（x）-kx=e^x-kx（k∈N^*），则v’（x）=e^x-k，
由v'（x）=e^x-k＞0知x＞lnk，
由v'（x）=e^x-k＜0知x＜lnk，
所以函数v（x）在区间（-∞，lnk）单调递减，在区间（lnk，+∞）上单调递增，
所以v（x）≥v（lnk），
由于v（x）在R上有两个零点，所以v（lnk）=e^lnk-klnk=k（1-lnk）＜0．
所以k＞e，又k为正整数，所以k的最小值为3．
（Ⅱ）由题意知函数g（x）的定义域为（0，+∞），
g′(x)=mx-

m+2

x

+2=

mx2+2x-m-2

x

=

(x-1)(mx+m+2)

x

，
由于x＞0，m≥0，所以

mx+m+2

x

＞0，
由g'（x）＞0知函数g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；
由g'（x）＜0知函数g（x）在区间（0，1）上单调递减．
由于函数g（x）存在“和谐2区间”[a，b]，若[a，b]?（0，1]，则

g(a)=2b g(b)=2a.

即

g(a)= m 2 a2-(m+2)lna+2a=2b g(b)= m 2 b2-(m+2)lnb+2b=2a.

两式相加得

m

2

a2+

m

2

b2-(m+2)lna-(m+2)lnb=0，
由于[a，b]?（0，1]及m≥0，易知上式不成立．
若[a，b]?[1，+∞），由g（x）在区间[1，+∞）上单调递增知，a，b为方程f（x）=2x的两个不等根，
令h(x)=f(x)-2x=

m

2

x2-(m+2)lnx，则h′(x)=mx-

m+2

x

=

mx2-(m+2)

x

．
若m=0，则h（x）=-2lnx在[1，+∞）单调递减，不可能有两个不同零点；…（10分）
若m＞0，h′(x)=

mx2-(m+2)

x

＞0知，h（x）在[

m+2 m

，+∞)上单调递增；
由h'（x）＜0知，h（x）在[1，

m+2 m

)上单调递减．
函数h(x)=

m

2

x2-(m+2)lnx在[1，+∞）上有两个不同零点，又h(1)=

m

2

＞0，
故有h(

m+2 m

)=

m

2

•

m+2

m

-(m+2)ln

m+2 m

＜0，解之得0＜m＜

2

e-1

．
综上，所求实数m的取值范围为0＜m＜

2

e-1

．

点评：本题主要考察了求函数的导函数，利用倒数求函数的单调区间，最值问题；给出了新定义，属于创新题型，渗透了分类讨论思想．