题目内容

当0＜x＜
π
2
时，证明：
2x
π
x＜sinx＜x．
考点：三角函数线
专题：三角函数的图像与性质
分析：利用三角函数线的定义画出图象，构造对应的图形，利用图象的面积大小关系证明sinx＜x；在同一个坐标系中画出y=sinx和y=
2x
π
的图形，利用图象的位置关系证明
2x
π
＜sinx．
解答： 证明：如图由三角函数线的定义可知，

sinx=MP，cosx=OM，tanx=AT，
∵x∈（0，
π
2
）时，且S△AOP＜S扇形AOP，
∴
1
2
×OA×MP＜
1
2
×x×OA2
则MP＜x，即sinx＜x，
在同一个坐标系中画出y=sinx和y=
2x
π
图象如下图所示：

由图得，当x∈（0，
π
2
）时，直线y=
2x
π
在y=sinx下方，
则
2x
π
＜sinx
综上得，
2x
π
＜sinx＜x．
点评：本题考查三角函数线的定义，正弦函数的图象等知识，利用数形结合是解决本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
设f（x）在[a，b]上连续，将[a，b]n等分，在每个小区间上任取ξi，则
∫
b
a
f（x）dx=（　　）
A、
lim
n→∞
n
i=1
f（ξi）
B、
lim
n→∞
n
i=1
f（ξi）•
b-a
n
C、
lim
n→∞
n
i=1
f（ξi）•ξi
D、
lim
n→∞
n
i=1
f（ξi）•（ξi-ξi-1）
已知长方形ABCD，抛物线l以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线l与AB边围成的封闭区域为M．若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P．则下列结论正确的是（　　）
A、不论边长AB，BC如何变化，P为定值
B、若
AB
BC
的值越大，P越大
C、当且仅当AB=BC时，P最大
D、当且仅当AB=BC时，P最小
下列命题中正确的个数为（　　）
（1）命题“?x＞0，x2-x≤0”的否定是“?x≤0，x2-x＞0”
（2）函数y=sin（x-
π
2
）在[0，π]上为减函数
（3）已知数列{an}，则“an，an+1，an+2成等比数列”是“an+12=anan+2”的充要条件
（4）已知函数f（x）=lgx+
1
lgx
，则函数f（x）的最小值为2．
A、1B、2C、3D、4
已知曲线Γ：y2=4x，直线l经过点（0，2）且其一个方向向量为
d
=（1，k）．
（1）若曲线Γ的焦点F在直线l上，求实数k的值；
（2）当k=-1时，直线l与曲线Γ相交于A、B两点，求|AB|的值；
（3）当k（k＞0）变化且直线l与曲线Γ有公共点时，是否存在这样的实数a，使得点P（a，0）关于直线l的对称点Q（x0，y0）落在曲线Γ的准线上．若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．
交流电的电压E（单位：V）与时间t（单位：s）的关系可用E=220
3
sin（ωt+φ）（ω＞0，|φ|＜
π
2
）来表示，且它的频率为50，并当t=0时E=110
3
，求：
（1）电压E的解析式；
（2）电压的最大值和第一次获得最大值的时间．
已知曲线f（x）=
1
3
x3+3x+
2
3
，求与直线4x-y-2=0平行的该曲线的切线方程．
已知a，b∈N，a≠b，且a2-b2=a3-b3，比较a+b，1，
4
3
大小．
已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若S8=68，a7=16．
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）在等比数列{bn}中，b1=a3，b2=a1，b3=a2，设Tn=b1+b2+b3+…+bn，rn=Tn-
1
Tn
（n∈N*），求数列{rn}的最大项与最小项的值．

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