Question

设数列{a_n}满足：a₁=1，点（a_n，a_n+1）（n∈N^*）均在直线y=2x+1上．
（Ⅰ）证明数列{a_n+1}为等比数列，并求出数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若b_n=log₂（a_n+1），求数列{（a_n+1）•b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由点（a_n+1，a_n）（n∈N*）均在直线y=2x+1上可知：a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）bn=log2(an+1)=log22n=n，可得(an+1)•bn=n•2n，利用“错位相减法”即可得出．

解答： （I）证明：由点（a_n+1，a_n）（n∈N*）均在直线y=2x+1上可知：
a_n+1=2a_n+1，
∴a_n+1+1=2（a_n+1），
于是

an+1+1

an+1

=2(n∈N*)，
即数列{a_n+1}是以2为公比的等比数列．
∴an+1=(a1+1)•2n-1=2n
∴an=2n-1．
（II）解：bn=log2(an+1)=log22n=n，
∴(an+1)•bn=n•2n，
∴Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n①
2T_n=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹②
①-②得-Tn=1•21+1•22+1•23+…+1•2n-n•2n+1
=

2(1-2n)

1-2

-n•2n+1=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹，
故Tn=(n-1)•2n+1+2．

点评：本题考查了等比数列的通项公式与前n项和公式、对数的运算性质、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．