Question

将12cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段，
（1）求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；
（2）若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值．

Answer 1

考点：二维形式的柯西不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）由题意可得a+b+c=12，再根据V=abc≤(

a+b+c

3

)3=64，可得V的最大值．
（2）设3个正三角形的边长为 l，m，n，则 l+m+n=4，由柯西不等式求得l²+m²+n²≥

16

3

，从而得到这三个正三角形面积和S=

3

4

（l²+m²+n²） 的最小值．

解答： 解：（1）由题意可得a+b+c=12，V=abc≤(

a+b+c

3

)3=64，
当且仅当a=b=c=4时，等号成立．
（2）设3个正三角形的边长为 l，m，n，则 l+m+n=4，
由柯西不等式（l²+m²+n²）（1+1+1）≥（l+m+n）²=16，即l²+m²+n²≥

16

3

．
∴这三个正三角形面积和S=

3

4

（l²+m²+n²）≥

3

4

•

16

3

=

4 3

3

，
当且仅当l=m=n=

4

3

时，等号成立．
∴这三个正三角形面积和的最小值为

4 3

3

．

点评：本题主要考查基本不等式、柯西不等式的应用，属于基础题．