Question

下列结论：
①若A＞B，则有sinA＞sinB；
②若B=

π

4

，b=2，a=

3

，则满足条件的三角形有两个；
③若△ABC是锐角三角形，则sinA＞cosB；
④若cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，则△ABC是正三角形．
其中的正确的有

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：①若A＞B，则有sinA-sinB=2sin

C

2

sin

A-B

2

＞0；
②由于B=

π

4

，b＞a，可得A＜B，因此C为钝角；
③由△ABC是锐角三角形，可得

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，可得sinA＞cosB；
④由-π＜A-B＜π，可得-1＜cos（A-B）≤1，同理可得cos（B-C）≤1，cos（C-A）≤1，可得cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，可得A=B=C．

解答： 解：①若A＞B，则有sinA-sinB=2cos

A+B

2

sin

A-B

2

=2sin

C

2

sin

A-B

2

＞0(

A-B

2

∈(0，

π

2

))，∴sinA＞sinB；
②若B=

π

4

，b=2，a=

3

，∴A＜B，因此C为钝角，则满足条件的三角形只有一个，不正确；
③若△ABC是锐角三角形，∴

π

2

＞A＞

π

2

-B＞0，∴sinA＞sin(

π

2

-B)=cosB，∴sinA＞cosB；
④∵cos（A-B）cos（B-C）cos（C-A）=1，由-π＜A-B＜π，可得-1＜cos（A-B）≤1，同理可得cos（B-C）≤1，
cos（C-A）≤1，∴cos（A-B）=cos（B-C）=cos（C-A）=1，可得A=B=C．则△ABC是正三角形．
综上可得：只有③④正确．
故答案为：③④．

点评：本题综合考查了三角函数的恒等变形、三角函数的单调性、解三角形，考查了推理能力与计算能力，属于难题．