Question

已知函数f（x）=lnx-

1

2

x²．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若关于x的方程f（x）+2bx=0在区间（0，e]上恰有两个不同的实根，求实数b的最大值；
（3）若对任意x∈[

1

e

，1]，不等式|a-2lnx|+ln[f′（x）+x]＞0成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的关系确定函数的单调区间，即而求出极值；
（2）把f（x）+2bx=0变为2b=-

lnx

x

+

1

2

x，并构造函数g（x）和h（x），利用函数的单调性得到g（x₀）＜2b≤g（e），解得即可；
（3）由已知的不等式解出a的取值范围并得到a的取值使不等式成立即可；

解答： 解：（1）因为函数的定义域为（0，+∞），
∴f′（x）=

1

x

-x=

1-x2

x

=0，解得x=1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）为减函数，
所以当x=1时，函数f（x）取得极大值为f（1）=-

1

2

，无极小值．
（2）lnx-

1

2

x²+2bx=0，x∈（0，e]，
∴2bx=-lnx+

1

2

x²，
即2b=-

lnx

x

+

1

2

x，
令g（x）=-

lnx

x

+

1

2

x，
则g′（x）=-

1-lnx

x2

+

1

2

=

x2-2+2lnx

2x2

设h（x）=x²-2+2lnx，
则h′（x）=2x+

2

x

＞0，
所以h（x）在（0，e]上为增函数，
因为h（1）=-1＜0，h（e）=e²＞0，所以存在唯一的x₀∈（0，e]，使得h（x₀）=0
所以存在唯一x₀∈（0，e]，使得g（x₀）=0，
当x∈（0，x₀），g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，
当x∈（x₀，e]，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，
若关于x的方程f（x）+2bx=0在区间（0，e]上恰有两个不同的实根，则满足g（x₀）＜2b≤g（e）=-

1

e

+

e

2

（3）|a-2lnx|+ln[f′（x）+x]＞0，
即|a-2lnx|＞lnx，
因为x∈[

1

e

，1]，所以lnx≤0，当且仅当x=1时，lnx=0，
所以只要当x=1时，a-2lnx≠0，即满足不等式成立，
所以a≠0．
故a的取值范围为（-∞，0）∪（0，+∞）

点评：本题主要考查学生利用导数研究函数极值的能力，综合运用方程与函数的能力，以及求导数的能力，属于中档题．