题目内容

在△ABC中，AB边上的中线CO=2
（1）若|
CA
|=|
CB
|，求（
CA
+
CB
）•
CA
的值；
（2）若动点P满足
AP
=sin2θ•
AO
+cos2θ•
AC
（θ∈R），求（
PA
+
PB
）•
PC
的最小值．
考点：平面向量数量积的运算
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）根据图形（
CA
+
CB
）•
CA
=2
CO
•
CA
=2×|
CO
|×|
CA
|×
|
CO
|
|
CA
|
=2|
CO
|求解即可．
（2）（
PA
+
PB
）•
PC
=2
PO
•
PC
=-2x（2-x）=2x2-4x转化为函数求解即可．
解答： 解：（1）因为|
CA
|=|
CB
|，O为AB的中点，所以CO⊥AB，
（
CA
+
CB
）•
CA
=2
CO
•
CA
=2×|
CO
|×|
CA
|×
|
CO
|
|
CA
|
=2|
CO
|2=8
（2）因为
AP
=sin2θ•
AO
+COS2θ•
AC
（θ∈R）
所以C，P，O三点共线，
令|
PO
|=x（0≤x≤2），|
PC
|=2-x，
∴（
PA
+
PB
）•
PC
=2
PO
•
PC
=-2x（2-x）=2x2-4x
当x=1时（
PA
+
PB
）•
PC
的最小值-2．
点评：本题考查了向量的运算，转化为函数求解，综合性强．
练习册系列答案
相关题目
已知抛物线y2=4x的焦点为F，直线x=t（t＞0，且t≠1）与抛物线交于A，B两点（点A在第一象限），定点Q的坐标为（-1，0），直线QA与抛物线的另一个交点为点M．
（1）求证：点M，F，B三点共线；
（2）当2≤t≤3时，求
|MA|
|MB|
的取值范围．
若一直线上有一点在已知平面外，则下列结论中正确的是（　　）
A、直线与平面平行
B、直线与平面相交
C、直线上至少有一个点在平面内
D、直线上有无数多个点都在平面外
已知函数f（x）=lnx-
1
2
x2．
（1）求函数f（x）的极值；
（2）若关于x的方程f（x）+2bx=0在区间（0，e]上恰有两个不同的实根，求实数b的最大值；
（3）若对任意x∈[
1
e
，1]，不等式|a-2lnx|+ln[f′（x）+x]＞0成立，求实数a的取值范围．
已知数列{an}的前n项和是Sn，且Sn+
1
2
an=1（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=-3log3
an
2
+1（n∈N*），求
1
b1b2
+
1
b2b3
+…+
1
b20b21
的值．
已知点A（-2，0），B（1，0），平面内的动点P满足|PA|=2|PB|．
（1）求点P的轨迹E的方程，并指出其表示的曲线的形状；
（2）求曲线E关于直线l：x+y-m=0对称的曲线E′的方程；
（3）是否存在实数m，使直线l：x+y-m=0与曲线E′交于P、Q两点，且以PQ为直径的圆经过坐标原点O？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．
已知函数f（x）=
-x2+2x，x≤1
ln(x-1)，x＞1
，若|f（x）|≥ax，则a的取值范围是（　　）
A、（-∞，0]
B、（-∞，1]
C、[-2，1]
D、[-2，0]
水平桌面α上放有4个半径均为2的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为1的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到水平桌面α的距离是
 
．
一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
A、9π-6
B、36π-24
C、12π-6
D、12π-12

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