Question

已知函数f（x）=

ax2+2x-1

x

的定义域为不等式log₂|x+3|+log 

1

2

x≤3的解集，且f（x）在定义域内单调递减，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数图象与性质的综合应用

专题：函数的性质及应用

分析：由不等式log₂|x+3|+log

1

2

x≤3 求得x≥

3

7

，可得函数f（x）=

ax2+2x-1

x

的定义域．由题意可得当x₂＞x₁≥

3

7

时，f（x₂）-f（x₁）=（x₂-x₁）（a+

1

x1•x2

）＜0，可得a＜-

1

x1•x2

．再由 x₁•x₂≥

9

49

，求得a的范围．

解答： 解：由不等式log₂|x+3|+log

1

2

x≤3，可得x＞0，且log₂ 

x+3

x

≤log₂8，∴

x＞0 x+3 x ≤8

，求得x≥

3

7

，
故函数f（x）=

ax2+2x-1

x

的定义域为[

3

7

，+∞）．
由f（x）在定义域内单调递减，可得当x₂＞x₁≥

3

7

时，f（x₂）＜f（x₁），
即f（x₂）-f（x₁）=（ax₂+2-

1

x2

）-（ax₁+2-

1

x1

）=a（x₂-x₁）+（

1

x1

-

1

x2

）=a（x₂-x₁）+

x2-x1

x1•x2

=（x₂-x₁）（a+

1

x1•x2

）＜0，
∴a+

1

x1•x2

＜0，即a＜-

1

x1•x2

．
再由 x₁•x₂≥

9

49

，可得a≤-

49

9

．

点评：本题主要考查对数函数的图象和性质综合应用，函数的单调性的应用，属于基础题．