Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D、E分别是BC和CC₁的中点，已知AB=AC=AA₁=4，∠BAC=90°．
（1）求证：B₁D⊥平面AED；
（2）求二面角B₁-AE-D的余弦值；
（3）求三棱锥A-B₁DE的体积．

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明B₁D⊥平面AED．
（2）求出平面B₁AE的法向量和平面AED的法向量，利用向量法能求出二面角B₁-AE-D的余弦值．
（3）S△B1DE=

1

2

B1D×DE=10，A到平面B₁DE的距离AD=

1

2

16+16

=2

2

，由此能求出三棱锥A-B₁DE的体积．

解答： （1）证明：以A为原点，AB为x轴，AC为y轴，
AA₁为z轴，建立空间直角坐标系，
由已知得B₁（4，0，4），C（0，4，0），B（4，0，0），
D（2，2，0），A（0，0，0），E（0，4，2），

B1D

=（-2，2，-4），

AE

=（0，4，2），

AD

=（2，2，0），
设平面AED的法向量

n

=（x，y，z），
则

n • AE =4y+2z=0 n • AD =2x+2y=0

，取x=1，得

n

=（1，-1，2），
∴

B1D

∥

n

，∴B₁D⊥平面AED．
（2）解：

AB1

=（4，0，4），
设平面B₁AE的法向量

m

=（a，b，c），

m • AB1 =4a+4c=0 m • AE =4b+2c=0

，取a=2，得

m

=（2，1，-2），
又平面AED的法向量

n

=（1，-1，2），
∴|cos＜

n

，

m

＞|=|

2-1-4

9 × 6

|=

6

6

，
∴二面角B₁-AE-D的余弦值为

6

6

．
（3）解：∵B₁D⊥平面AED，
∴S△B1DE=

1

2

B1D×DE=

1

2

×

16+4

×

16+4

=10，
A到平面B₁DE的距离AD=

1

2

16+16

=2

2

，
∴三棱锥A-B₁DE的体积：
V=

1

3

×S△B1DE×AD=

1

3

×10×2

2

=

20 2

3

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意向量法的合理运用．