Question

已知函数f（x）的定义域是{x|x＞0}，对于定义域内的任意x₁，x₂都有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x＞1时f（x）＞0，f（2）=1，
（1）判断函数f（x）的单调性，并用定义证明；
（2）求不等式f（2x-1）＜2的解集．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先任取两个变量，界定大小，再作差变形看符号．
（2）先令x₁=x₂=2，求得f（4）=2，再根据函数的单调性，得到关于不等式组，解得即可．

解答： 解：（1）函数f（x）为减函数，
证明：设x₂＞x₁＞0，
则f（x₂）-f（x₁）=f（x₁•

x2

x1

）-f（x₁）
=f（x₁）+f（

x2

x1

）-f（x₁）=f（

x2

x1

）．
∵x₂＞x₁＞0，
∴

x2

x1

＞1．
∴f（

x2

x1

）＞0，
即f（x₂）-f（x₁）＞0．
∴f（x₂）＞f（x₁）．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．
（2）令x₁=x₂=2，
∴f（4）=f（2）+f（2）=1+1=2，
∵f（2x-1）＜2，
∴f（2x-1）＜f（4），
∵f（x）在（0，+∞）上是增函数．
∴

2x-1＞0 2x-1＜4

，
解得

1

2

＜x＜

5

2

，
故原不等式的解集为（

1

2

，

5

2

）

点评：本题主要考查单调性和奇偶性的判断与证明．以及抽象函数的性质和应用，解题时要注意公式f（xy）=f（x）+f（y）（x，y＞0），f（2）=1的灵活运用．