Question

已知数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-1，数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*）．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n；
（3）是否存在非零实数k，使得数列{kT_n+k²a_n}为等差数列，证明你的结论．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-2a_n-1+1，a_n=2a_n-1，从而{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，由此求出an=2n-1．
（2）由已知得b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，由此能求出数列{b_n}的前n项和T_n．
（3）设c_n=kT_n+k²a_n=(k+

1

2

k2)•2n+k（2n-1），从而c_n+1-c_n=（k+

1

2

k2）•2ⁿ+2k，由此能求出存在实数k=-2，使得数列{kT_n+k²a_n}为首项为-2，公差为-4的等差数列．

解答： 解：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n=2a_n-1，
∴n=1时，a₁=S₁=2a₁-1，解得a₁=1．
n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-1-2a_n-1+1，
∴a_n=2a_n-1，
∴

an

an-1

=2．
∴{a_n}是以1为首项，2为公比的等比数列，
∴an=2n-1．
（2）∵数列{b_n}满足b₁=3，b_n+1=a_n+b_n（n∈N^*），
∴b_n+1-b_n=a_n=2^n-1，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）
=3+1+2+2²+…+2^n-2
=3+

1-2n-1

1-2

=2^n-1+2．
∴T_n=1+2+4+…+2^n-1+2n
=

1-2n

1-2

+2n
=2ⁿ+2n-1．
（3）设c_n=kT_n+k²a_n
=k•2ⁿ+k（2n-1）+k²•2^n-1
=(k+

1

2

k2)•2n+k（2n-1），
∵c_n+1-c_n=（k+

1

2

k2）•2ⁿ+2k，
∴若存在非零实数k，使得数列{kT_n+k²a_n}为等差数列
则k+

1

2

k2=0，∵k≠0，∴k=-2，
∴c₁=-2（2-1）=-2，c_n+1-c_n=-4，
∴存在实数k=-2，使得数列{kT_n+k²a_n}为首项为-2，公差为-4的等差数列．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，考查是否存在非零实数k，使得数列{kT_n+k²a_n}为等差数列的判断与求法，解题时要注意构造法的合理运用．