Question

19．设函数f（x）在（m，n）上的导函数为g（x），x∈（m，n），若g（x）的导函数小于零恒成立，则称函数f（x）在（m，n）上为“凸函数”．已知当a≤2时，$f（x）=\frac{1}{6}{x^3}-\frac{1}{2}a{x^2}+x$，在x∈（-1，2）上为“凸函数”，则函数f（x）在（-1，2）上结论正确的是（　　）

• A． 有极大值，没有极小值
• B． 没有极大值，有极小值
• C． 既有极大值，也有极小值
• D． 既无极大值，也没有极小值

Answer 1

分析 求导，由题意可知：g′（x）=x-a＜0，g′（x）＜0，x∈（-1，2）时恒成立，求得a的值，根据导数与函数单调性与极值的关系，即可求得函数的极值．

解答 解：当a≤2时，$f（x）=\frac{1}{6}{x^3}-\frac{1}{2}a{x^2}+x$，求导，f′（x）=$\frac{1}{2}$x²-ax+1，
由已知得g′（x）=x-a＜0，当x∈（-1，2）时恒成立，
故a≥2，又已知a≤2，故a=2，
此时由f′（x）=0，得：x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$∉（-1，2），
当x∈（-1，2-$\sqrt{2}$）时，f′（x）＞0；当x∈（2-$\sqrt{2}$，2）时，f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（-1，2）有极大值，没有极小值，
故选A．

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性与极值的关系，函数凹凸性的判断，考查转化思想，属于中档题．