Question

8．已知f（x）=|x+1|．
（1）求不等式f（x+2）+f（2x）≥4的解集；
（2）若|m|＞1，|n|＞1，求证：$\frac{f（mn）}{|m|}$＞f（$\frac{n}{m}$）

Answer 1

分析 （1）不等式f（x+2）+f（2x）≥4，即|x+3|+|2x+1|≥4，分类讨论，即可解不等式；
（2）利用分析法证明不等式．

解答 解：（1）不等式f（x+2）+f（2x）≥4，即|x+3|+|2x+1|≥4，
x＜-3时，不等式化为-x-3-2x-1≥4，∴x≤-$\frac{8}{3}$，∴x＜-3；
-3≤x≤-$\frac{1}{2}$时，不等式化为x+3-2x-1≥4，∴x≤-2，∴-3≤x≤-2；
x＞-$\frac{1}{2}$时，不等式化为x+3+2x+1≥4，∴x≥0，∴x≥0；
综上所述，不等式的解集为（-∞，-2]∪[0，+∞）（5分）
（2）$\frac{f（mn）}{|m|}$＞f（$\frac{n}{m}$），即证明|mn+1|＞|n+m|，
即证明m²n²+2mn+1＞m²+n²+2mn，
即证明（m²-1）（n²-1）＞0
∵|m|＞1，|n|＞1，
∴m²＞1，n²＞1
∴（m²-1）（n²-1）＞0，
∴$\frac{f（mn）}{|m|}$＞f（$\frac{n}{m}$）（5分）

点评 本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查分析法的运用，属于中档题．