Question

10．设f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，且 f'（x）•g（x）-f（x）g'（x）＜0，则当b＜x＜a时有（　　）

• A． f（x）•g（x）＞f（a）•g（a）
• B． f（x）•g（a）＞f（a）•g（x）
• C． f（x）•g（b）＞f（b）•g（x）
• D． f（x）•g（x）＞f（b）•g（b）

Answer 1

分析 构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$，求导可判函数F（x）为R上单调递减的函数，结合b＜x＜a，可得$\frac{f（b）}{g（b）}$＞$\frac{f（x）}{g（x）}$＞$\frac{f（a）}{g（a）}$，由题意结合选项分析，可得答案．

解答 解：由题意构造函数F（x）=$\frac{f（x）}{g（x）}$
则其导函数F′（x）=$\frac{f′（x）g（x）-f（x）g′（x）}{[g（x）]^{2}}$＜0，
故函数F（x）为R上单调递减的函数，
∵b＜x＜a，∴F（b）＞F（x）＞F（a），
即$\frac{f（b）}{g（b）}$＞$\frac{f（x）}{g（x）}$＞$\frac{f（a）}{g（a）}$，
又f（x），g（x）是定义域为R的恒大于零的可导函数，
对式子的后半部分两边同乘以g（a）g（x）可得f（x）g（a）＞f（a）g（x）．
故选B．

点评 本题考查构造函数证明不等式，涉及商的导数，属基础题．