Question

12．某公司开发一心产品有甲乙两种型号，现发布对这两种型号的产品进行质量检测，从它们的检测数据中随机抽取8次（数值越大产品质量越好），记录如下：
甲：8.3，9.0，7.9，7.8，9.4，8.9，8.4，8.3
乙：9.2，9.5，8.0，7.5，8.2，8.1，9.0，8.5
（1）先要从甲乙中选一种型号产品投入生产，从统计学的角度，你认为生产哪种型号的产品合适？简单说明理由；
（2）若将频率视为概率，对产品乙今后的三次检测数据进行预测，记这三次数据中不低于8.5分的次数为ξ，求ξ的分布列及数学期望ξ

Answer 1

分析 （1）计算平均数$\overline{{x}_{甲}}$、$\overline{{x}_{乙}}$，方差${{s}_{甲}}^{2}$、${{s}_{乙}}^{2}$，根据平均数与方差的意义即可得出结论；
（2）由题意知乙不低于8.5分的频率为概率，得出ξ的可能取值，
则ξ～B（3，$\frac{1}{2}$），计算对应的概率值，写出ξ的分布列，计算数学期望值．

解答 解：（1）计算平均数$\overline{{x}_{甲}}$=$\frac{1}{8}$×（8.3+9.0+7.9+7.8+9.4+8.9+8.4+8.3）=8.5，
$\overline{{x}_{乙}}$=$\frac{1}{8}$×（9.2+9.5+8.0+7.5+8.2+8.1+9.0+8.5）=8.5，
方差${{s}_{甲}}^{2}$=$\frac{1}{8}$×[（8.3-8.5）²+（9.0-8.5）²+（7.9-8.5）²+（7.8-8.5）²
+（9.4-8.5）²+（8.9-8.5）²+（8.4-8.5）²+（8.3-8.5）²]=0.27，
${{s}_{乙}}^{2}$=$\frac{1}{8}$×[（9.2-8.5）²+（9.5-8.5）²+（8.0-8.5）²+（7.5-8.5）²
+（8.2-8.5）²+（8.1-8.5）²+（9.0-8.5）²+（8.5-8.5）²]=0.405，
$\overline{{x}_{甲}}$=$\overline{{x}_{乙}}$，${{s}_{甲}}^{2}$＜${{s}_{乙}}^{2}$，
∴甲和乙的质量数值的平均数相同，但甲的方差较小，
说明甲的数据更加稳定，故生产甲产品合适；
（2）依题意，乙不低于8.5分的频率为$\frac{1}{2}$，
随机变量ξ的可能取值为0，1，2，3，
则ξ～B（3，$\frac{1}{2}$），
∴P（ξ=0）=${C}_{3}^{0}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$，
P（ξ=1）=${C}_{3}^{1}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=2）=${C}_{3}^{2}$•$\frac{1}{2}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{3}{8}$，
P（ξ=3）=${C}_{3}^{3}$•${（\frac{1}{2}）}^{3}$=$\frac{1}{8}$，
∴ξ的分布列为：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{3}{8}$	$\frac{1}{8}$

数学期望为Eξ=0×$\frac{1}{8}$+1×$\frac{3}{8}$+2×$\frac{3}{8}$+3×$\frac{1}{8}$=$\frac{3}{2}$（或E（ξ）=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查了平均数和方差的计算问题，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望的计算问题．