Question

4．已知函数f（x）=x²+2ax+3，x∈[-4，6]，
（1）求实数a的取值范围，使y=f（x）在区间[-4，6]上是单调函数；
（2）当a=-1时，求f（|x|）的单调区间．

Answer 1

分析 （1）利用二次函数的开口方向与对称轴，结合函数的单调性列出不等式求解即可．
（2）利用a=-1化简函数的解析式，然后求解函数的单调区间即可．

解答 解：（1）函数f（x）=x²+2ax+3，开口向上，对称轴为：x=-a，
由y=f（x）在区间[-4，6]上是单调函数，可得-a≤-4或-a≥6，
∴a≤-6或a≥4．
（2）当a=-1时，f（|x|）=x²-2|x|+3=$\left\{\begin{array}{l}{（x-1）^{2}+2，x≥0}\\{（x+1）^{2}+2，x＜0}\end{array}\right.$，
结合函数图象分析知，增区间为[-1，0]，[1，6]减区间为[-4，-1），（0，1]．

点评 本题考查二次函数的性质的应用，考查数形结合以及计算能力．