Question

19．如图，在四棱锥A-CDFE中，底面CDFE是直角梯形，CE∥DF，EF⊥EC，$CE=\frac{1}{2}DF$，AF⊥平面CDFE，P为AD中点．
（Ⅰ）证明：CP∥平面AEF；
（Ⅱ）设EF=2，AF=3，FD=4，求点F到平面ACD的距离．

Answer 1

分析 （I）作AF中点G，连结PG、EG，证明CP∥EG．然后利用直线与平面平行的判定定理证明CP∥平面AEF．
（II）作FD的中点Q，连结CQ、FC．求出CF，证明CD⊥AC，设点F到平面ACD的距离为h，利用V_F-ACD=V_D-ACF．求解即可．

解答 （本小题满分12分）
证明：（I）作AF中点G，连结PG、EG，
∴PG∥DF且$PG=\frac{1}{2}DF$．
∵CE∥DF且$CE=\frac{1}{2}DF$，
∴PG∥EC，PG=EC．
∴四边形PCEG是平行四边形．…（2分）
∴CP∥EG．
∵CP?平面AEF，EG?平面AEF，
∴CP∥平面AEF．…（4分）
（II）作FD的中点Q，连结CQ、FC．
∵FD=4，
∴EC=FQ=2．
又∵EC∥FQ，
∴四边形ECQF是正方形．
∴$CF=\sqrt{E{F^2}+E{C^2}}=2\sqrt{2}$．
∴Rt△CQD中，$CD=\sqrt{C{Q^2}+Q{D^2}}=2\sqrt{2}$．
∵DF=4，CF²+CD²=16．
∴CD⊥CF．
∵AF⊥平面CDEF，CD?平面CDEF，
∴AF⊥CD，AF∩FC=F．
∴CD⊥平面ACF．
∴CD⊥AC．…（8分）
设点F到平面ACD的距离为h，
∴V_F-ACD=V_D-ACF．
∴$\frac{1}{3}•h•{S_{ACD}}=\frac{1}{3}•CD•{S_{ACF}}$．
∴$h=\frac{{CD•\frac{1}{2}•AF•FC}}{{\frac{1}{2}•CD•AC}}=\frac{{3•2\sqrt{2}}}{{\sqrt{A{F^2}+F{C^2}}}}=\frac{{6\sqrt{2}}}{{\sqrt{17}}}=\frac{{6\sqrt{34}}}{17}$．…（12分）

点评 本题考查直线与平面平行的判定定理的应用，等体积法的应用，考查空间点、线、面距离的求法．