某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲.这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快.二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m2.三月底测得覆盖面积为36m2.凤眼莲覆盖面积y(单位:m2)与月份x的关系有两个函数模型y=kax与y=px${\;}^{\frac{1}{2}}$+q可供选择．(Ⅰ)试判断哪个函数模型更合适.并求出该模型的解析式,(Ⅱ)求凤眼莲覆� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

7．某生物研究者于元旦在湖中放入一些凤眼莲，这些凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，二月底测得凤眼莲覆盖面积为24m²，三月底测得覆盖面积为36m²，凤眼莲覆盖面积y（单位：m²）与月份x（单位：月）的关系有两个函数模型y=ka^x（k＞0，a＞1）与y=px${\;}^{\frac{1}{2}}$+q（p＞0）可供选择．
（Ⅰ）试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
（Ⅱ）求凤眼莲覆盖面积是元旦放入面积10倍以上的最小月份．
（参考数据：lg2≈0.3010，lg3≈0.4771）

分析（Ⅰ）判断两个函数y=ka^x（k＞0，a＞1），$y=p{x^{\frac{1}{2}}}+q（p＞0）$在（0，+∞）的单调性，说明函数模型y=ka^x（k＞0，a＞1）适合要求．然后列出方程组，求解即可．
（Ⅱ）利用 x=0时，$y=\frac{32}{3}•{（{\frac{3}{2}}）^0}=\frac{32}{3}$，元旦放入凤眼莲面积是$\frac{32}{3}{m^2}$，列出不等式转化求解即可．

解答本小题满分（12分）．
解：（Ⅰ）两个函数y=ka^x（k＞0，a＞1），$y=p{x^{\frac{1}{2}}}+q（p＞0）$在（0，+∞）上都是增函数，随着x的增加，函数y=ka^x（k＞0，a＞1）的值增加的越来越快，而函数$y=p{x^{\frac{1}{2}}}+q（p＞0）$的值增加的越来越慢．
由于凤眼莲在湖中的蔓延速度越来越快，所以函数模型y=ka^x（k＞0，a＞1）适合要求．
由题意可知，x=2时，y=24；x=3时，y=36，所以$\left\{{\begin{array}{l}{k{a^2}=24}\\{k{a^3}=36}\end{array}}\right.$
解得$\left\{{\begin{array}{l}{k=\frac{32}{3}}\\{a=\frac{3}{2}}\end{array}}\right.$
所以该函数模型的解析式是$y=\frac{32}{3}•{（{\frac{3}{2}}）^x}$（x∈N^*）．
（Ⅱ） x=0时，$y=\frac{32}{3}•{（{\frac{3}{2}}）^0}=\frac{32}{3}$，
所以元旦放入凤眼莲面积是$\frac{32}{3}{m^2}$，
由$\frac{32}{3}•{（{\frac{3}{2}}）^x}＞10×\frac{32}{3}$得${（{\frac{3}{2}}）^x}＞10$，
所以$x＞{log_{\frac{3}{2}}}10=\frac{lg10}{{1g\frac{3}{2}}}=\frac{1}{lg3-lg2}$，
因为$\frac{1}{lg3-lg2}=\frac{1}{0.4770-0.3010}≈5.7$，所以x≥6，
所以凤眼莲覆盖面积是元旦放入凤眼莲面积10倍以上的最小月份是6月份．