Question

9．已知a，b∈R，若点M（1，2）在矩阵A=$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{4}\end{array}]$对应的变换作用下得到点N（2，-7），求矩阵A的特征值．

Answer 1

分析 先求出矩阵A，再利用矩阵A的特征多项式f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-4}&{-1}\\{-1}&{λ-4}\end{array}|$=（λ-3）（λ-5）=0，求矩阵A的特征值．

解答 解：由题意得$[\begin{array}{l}{a}&{1}\\{b}&{4}\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{-2}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{2}\\{-7}\end{array}]$，∴$\left\{\begin{array}{l}{a-2=2}\\{b-8=-7}\end{array}\right.$，∴a=4，b=1，
∴A=$[\begin{array}{l}{4}&{1}\\{1}&{4}\end{array}]$，
∴矩阵A的特征多项式f（λ）=$|\begin{array}{l}{λ-4}&{-1}\\{-1}&{λ-4}\end{array}|$=（λ-3）（λ-5），
由f（λ）=0，可得λ=3或5．

点评 本题考查矩阵变换，考查特征多项式的运用，属于中档题．