Question

多面体ABCDEF中，M、N分别为EC、AB的中点，底面ABCD为菱形，且∠BAD=
60°，ED⊥平面ABCD，ED∥BF，且ED=AD=2BF=2．
（Ⅰ）求证：MN∥平面BCF；
（Ⅱ）求二面角A-EF-C的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）取CD的中点P，连结MP，PN，证明平面MPN∥平面BCF，可得MN∥平面BCF；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面AEF的法向量、平面CEF的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-EF-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：取CD的中点P，连结MP，PN，则MP∥

1

2

ED
∵FB∥

1

2

ED，∴MP∥FB，PN∥BC．
∵MP∩PN=P，FB∩BC=B，
∴平面MPN∥平面BCF，
∵MN?平面MPN，
∴MN∥平面BCF；
（Ⅱ）解：建立如图所示的空间直角坐标系，由ED=AD=2BF=2，得E（0，0，2），A（

3

，-1，0）
F（

3

，1，1），C（0，2，0）
∴

EF

=（

3

，1，-1），

EA

=（

3

，-1，-2），

EC

=（0，2，-2），
设平面AEF的法向量为

m

=（x，y，z），
则

3 x+y-z=0 3 x-y-2z=0

，∴平面AEF的一个法向量为

m

=（-

3

，1，-2）；
同理，平面CEF的一个法向量为

n

=（0，1，1），∴cos＜

m

，

n

＞=

0+1-2

2 • 8

=-

1

4

，
∴平面AEF和平面CEF所成二面角的余弦值为-

1

4

．

点评：本题考查线面平行、面面平行，考查面面角，考查向量知识的运用，正确运用面面平行的判定定理是关键．