Question

在四棱锥p-ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2

2

，CD=2，PA⊥平面ABCD，PA=4．
（1）求证BD⊥平面PAC；
（2）求二面角A-PC-B的余弦值；
（3）设点Q为线段PB上一点，且直线QC与平面PAC所成角的正弦值为

3

3

，求

PQ

PB

的值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）根据线面垂直的判定定理即可证明BD⊥平面PAC；
（2）建立坐标系，利用向量法即可求二面角A-PC-B的余弦值；
（3）利用向量法，即可求出直线和平面所成的角．

解答： 解：（1）建立空间坐标系如图：
∵AB=4，AD=2

2

，CD=2，PA=4．
∴A（0，0，0），B（4，0，0），D（0，2

2

，0），
C（2，2

2

，0），P（0，0，4），
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵

AC

=（2，2

2

，0），

BD

=（-4，2

2

，0），
∴

AC

•

BD

=-8+8=0，
即

AC

⊥

BD

，则BD⊥AC，
∵AC∩PA=A，
∴BD⊥平面PAC
（2）∵BD⊥平面PAC
∴

BD

=（-4，2

2

，0）是平面PAC的法向量，
设平面PCB的法向量为

n

=（x，y，z），
则

BP

=(-4，0，4)，

CP

=(-2，-2

2

，4)，
则

BP • n =-4x+4z=0 CP • n =-2x-2 2 y+4z=0

，
令z=1，则x=1，y=

2

2

，即

n

=（1，

2

2

.1），
则二面角A-PC-B的余弦值|cos＜

BD

，

n

＞|=|

-4+2 2 × 2 2

24 • 10 4

|=

2

2 15

=

15

15

．
（3）

BD

=（-4，2

2

，0）是平面PAC的法向量，
若直线QC与平面PAC所成角的正弦值为

3

3

，
即

CQ

与

BD

所成角的余弦值的绝对值为

3

3

，
设

PQ

PB

=m，则

PQ

=m

PB

=m（4，0，-4）=（4m，0，-4m），
则

CQ

=

CP

+

PQ

=（-2，-2

2

，4）+（4m，0，-4m）=（4m-2，-2

2

，4-4m），
则|cos＜

CQ

，

BD

＞|=|

CQ • BD

| CQ | BD ||

|=|

-4(4m-2)+8+4(4-4m)

24 • 32m2-48m+28

|=

3

3

，
即|

-32m+32

24 • 32m2-48m+28

|=

3

3

，
解得m=

7

12

，
即

PQ

PB

=

7

12

．

点评：本题主要考查空间直线和平面垂直的判断，以及空间二面角和直线和平面所成角计算，利用向量法是解决本题的关键．