Question

已知函数f（x）=sinx+acosx（x∈R），

π

4

是函数f（x）的一个零点，
（1）求a的值，并求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若α、β∈（0，

π

2

），且f（α+

π

4

）=

10

5

，f（β+

3π

4

）=

3 5

5

，求sin（α+β）．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用函数零点的定义列出方程，求出a的值再代入解析式，利用两角差的正弦公式化简解析式，再由整体思想和正弦函数的单调增区间求出f（x）的增区间；
（2）由（1）和条件分别求出sinα、cosβ，再由角的范围和平方关系求出cosαsinβ，利用两角和的正弦公式求出sin（α+β）的值．

解答： 解：（1）因为

π

4

是函数f（x）的一个零点，
所以sin

π

4

+acos

π

4

=0，解得a=-1，
则f（x）=sinx-cosx=

2

sin(x-

π

4

)，
由2kπ-

π

2

≤x-

π

4

≤2kπ+

π

2

(k∈Z)得，2kπ-

π

4

≤x≤2kπ+

3π

4

(k∈Z)，
所以函数f（x）的单调递增区间是[2kπ-

π

4

，2kπ+

3π

4

](k∈Z)；
（2）由（1）得，f(x)=

2

sin(x-

π

4

)，
因为f（α+

π

4

）=

10

5

，f（β+

3π

4

）=

3 5

5

，
所以

2

sinα=

10

5

，

2

sin(β+

π

2

)=

3 5

5

，
化简得sinα=

5

5

，cosβ=

3 10

10

，
因为α、β∈（0，

π

2

），所以cosα=

1-sin2α

=

2 5

5

，
sinβ=

1-cos2β

=

10

10

，
所以sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ
=

5

5

×

3 10

10

+

2 5

5

×

10

10

=

2

2

．

点评：本题考查两角差与和的正弦公式，平方关系，函数零点的定义，以及正弦函数的单调性，注意角的范围和三角函数值的符号，属于中档题．