Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点Q（-1，

2

2

），且离心率e=

2

2

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线l：y=kx+1与曲线C交于M、N两点，当线段MN的中点在直线x+2y=1上时，求直线l的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件得

c a = 2 2 1 a2 + 1 2 b2 =1 a2=b2+c2

，由此能求出椭圆C的方程．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点（x₀，y₀），利用点差法能求出直线l的方程．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）过点Q（-1，

2

2

），且离心率e=

2

2

，
∴

c a = 2 2 1 a2 + 1 2 b2 =1 a2=b2+c2

，解得

a2=2 b2=1

，
∴椭圆C的方程为

x2

2

+y2=1．
（2）设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点（x₀，y₀）
得

x12+2y12=2 x22+2y22=2

，
两式相减，得 (

x

2 1

-

x

2 2

)+2(

y

2 1

-

y

2 2

)=0(x1+x2)+2(y1+y2)•(

y1-y2

x1-x2

)=0（x₁≠x₂），
即x₀+2y₀•k=0，又x₀+2y₀=0，∴k=1，
∴直线l的方程为y=x+1．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意点差法的合理运用．