Question

已知函数f（x）=

3

sinx•cosx+sin²x．
（1）求函数f（x）的最小正周期及最小值；
（2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（A）=

3

2

，a=2，b+c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（1）利用三角函数中的恒等变换可求得f（x）=sin（2x-

π

6

）+

1

2

，从而可得函数f（x）的最小正周期及最小值；
（2）由f（A）=

3

2

，可求得A=

π

3

，再利用余弦定理即可求得bc=

5

3

，从而可求△ABC的面积．

解答： 解：（1）依题意，得f(x)=

3

sinx•cosx+sin2x=

3

2

sin2x+

1-cos2x

2

=sin(2x-

π

6

)+

1

2

，
∴f（x）的最小正周期为π，f（x）的最小值为-

1

2

．
（2）由f（A）=

3

2

，得sin（2A-

π

6

）+

1

2

=

3

2

，
∴sin（2A-

π

6

）=1，
∵A∈（0，π），∴2A∈（0，2π），2A-

π

6

∈（-

π

6

，

11π

6

），
∴2A-

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

，
∵a=2，b+c=3，
∴根据余弦定理得，4=b²+c²-2bccosA=b²+c²-bc=（b+c）²-3bc=9-3bc，
∴bc=

5

3

，∴S△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

×

5

3

×

3

2

=

5

12

3

．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换及其应用，考查余弦定理与正弦定理的应用，求得A=

π

3

是关键，考查运算求解能力，属于中档题．