Question

已知数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=2a_n+1，令b_n=a_n+1-a_n．
（1）证明：数列{b_n}是等比数列；
（2）设数列{na_n}的前n项和为S_n，求使S_n+

n(n+1)

2

＞120成立的正整数n的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等比关系的确定

专题：等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：（1）由数列递推式构造出等比数列{a_n+1-a_n}，即数列{b_n}是等比数列；
（2）由（1）求出等比数列的通项公式，进一步得到an+1-an=2n，累加后求出a_n的通项公式，代入na_n后
利用分组求和和错位相减法求和得到数列{na_n}的前n项和为S_n，代入S_n+

n(n+1)

2

＞120得到该式成立的正整数n的最小值．

解答： （1）证明：由a_n+1=2a_n+1，得a_n=2a_n-1+1（n≥2），
两式相减得：（a_n+1-a_n）=2（a_n-a_n-1）．
∵b_n=a_n+1-a_n，
∴b_n=2b_n-1．
又b₁=a₂-a₁=（2a₁+1）-a₁=a₁+1=2．
∴数列{b_n}是以2为首项，以2为公比等比数列；
（2）解：由（1）得bn=2n，即an+1-an=2n，
∴an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(a n-an-1)=1+2+22+…2n-1=2n-1，
∴nan=n•2n-n，
∴Sn=(1•21-1)+(2•22-1)+…+(n•2n-n)=(1•21+2•22+…+n•2n)-

n(n+1)

2

，
令T=1•2¹+2•2²+…+n•2ⁿ ①，
则2T=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹ ②，
①-②得：-T=-2+2ⁿ⁺¹-n•2ⁿ⁺¹，
∴T=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，
∴Sn=(n-1)•2n+1+2-

n(n+1)

2

，
由S_n+

n(n+1)

2

＞120，得（n-1）•2ⁿ⁺¹+2＞120，
即（n-1）•2ⁿ⁺¹＞118，
∵当n∈N₊时，（n-1）•2ⁿ⁺¹单调递增，
∴正整数n的最小取值为5．

点评：本题考查了等比关系的确定，考查了分组法和错位相减法求数列的和，训练了数列不等式的解法，是中高档题．